Definition

3차원 상에 2개의 벡터 P, Q가 존재할 때,

다음과 같은 형식으로도 쓸 수 있다.


Theorem 1.

a가 두 벡터 P, Q 사이의 각을 나타낼 때,


Proof.


   먼저 Cross Product가 어떤 의미를 지니는지 모르겠으니, 무식하게 한번 풀어보자.



   복잡하니깐 근호를 제거하기위해 제곱.


   복잡한건 마찬가지. 이렇게 계속 진행해 나가도 Theorem 내의 sin(a)는 유도할 수 없다. 이놈을 어디서 유도할 수 있을까.


   사실 이 정리를 처음 봤을 때 인상은 Dot Product와 굉장히 닮았다는 것. 그리고 거기에는 cos(a)가 있다. 


   cos이 있다는건 sin을 유도할 수 있다는 뜻. 그 역도 마찬가지이다.


   Theorem으로 시작하여 다행히 새로운 공식을 얻을 수 있었다. 그리고 이 공식에는 삼각함수가 없어 위의 정리와 호환될 수 있다. 만약 위 정리가 참이라면 두 등식이 서로에게로 유도될 수 있어야 한다. 어느쪽에서 시작해도 상관 없지만 난 위의 등식에서 아래의 등식을 유도해 보겠다.


   첫번째 줄을 좀만더 보충하면 를 유도할 수 있을 것 같다. 계속 해보자.


두 공식이 같으므로 증명 완료.