정리

증명

그림을 그려보면,
(실수!B-A가 아닌 A-B이다.)
와 같다.

좌표를 표시해 보면,
(실수!B-A가 아닌 A-B이다.)
와 같다.

이 때, 두 점 사이의 거리인 d는 이다.

루트는 복잡하니 루트를 제거하기 위해 d를 제곱하면,

정리의 우항과 비슷한 모양이 되었다. A-B를 조금 더 보면 다음과 같다.

아까처럼 좌표를 표시해 보면,

마찬가지로,

1=2이므로,

증명 완료

피타고라스의 정리


일때, 이다.


증명

위의 그림과 같이 빨간색 수선의 발을 빗변으로 내렸을 때,는 비율만 다른 닮은꼴 삼각형이다.
즉, 이다.

이므로,


1과 2를 더하면,

이므로,
 ( proved)

Definition

3차원 상에 2개의 벡터 P, Q가 존재할 때,

다음과 같은 형식으로도 쓸 수 있다.


Theorem 1.

a가 두 벡터 P, Q 사이의 각을 나타낼 때,


Proof.


   먼저 Cross Product가 어떤 의미를 지니는지 모르겠으니, 무식하게 한번 풀어보자.



   복잡하니깐 근호를 제거하기위해 제곱.


   복잡한건 마찬가지. 이렇게 계속 진행해 나가도 Theorem 내의 sin(a)는 유도할 수 없다. 이놈을 어디서 유도할 수 있을까.


   사실 이 정리를 처음 봤을 때 인상은 Dot Product와 굉장히 닮았다는 것. 그리고 거기에는 cos(a)가 있다. 


   cos이 있다는건 sin을 유도할 수 있다는 뜻. 그 역도 마찬가지이다.


   Theorem으로 시작하여 다행히 새로운 공식을 얻을 수 있었다. 그리고 이 공식에는 삼각함수가 없어 위의 정리와 호환될 수 있다. 만약 위 정리가 참이라면 두 등식이 서로에게로 유도될 수 있어야 한다. 어느쪽에서 시작해도 상관 없지만 난 위의 등식에서 아래의 등식을 유도해 보겠다.


   첫번째 줄을 좀만더 보충하면 를 유도할 수 있을 것 같다. 계속 해보자.


두 공식이 같으므로 증명 완료.

   선분과 원의 충돌 검사를 하기 위해선 먼저 직선과 원의 충돌 검사를 한 후 충돌지점이 선분의 영역에 포함되는지 검사해야 한다. 따라서 먼저 직선과 원의 충돌 검사를 해보자. 직선과 원의 충돌 지점은 직선의 방정식과 원의 방정식의 해를 푸는 것이겠다.


선(A, B)의 방정식


원(C, r)의 방정식


해를 구하기 위해서 먼저 원의 방정식을 풀어 보자.


그 다음에 선의 방정식을 X에 대입한다.


이 방정식을 만족시키는 t가 있으면 직선과 원이 충돌하는 것이고, 그 t를 직선의 방정식에 대입해 정확한 충돌 지점까지 구할 수 있다. 그럼 위 공식을 t에 대해 정리해보자.

정리하고 보니 2차 방정식이다. 근의 공식을 이용해 t를 구해보자.

에서



근의 공식에서  

< 0 이면 해가 없고,

= 0 이면 해가 1개(접선),

> 0 이면 해가 2개이므로

이를 이용해 직선과의 충돌여부를 알 수 있다.


t에 관하여 나타낸 방정식에서

이므로 해가 있는 경우에 한해서 t를 구할 수 있다.

이 t를 직선의 방정식에 대입시키면 해이자 충돌지점인 X도 구할 수 있다.


직선-원 충돌이 아닌 선분-원 충돌이다.

하지만 t까지 이미 구했으므로 다 한 것이나 다름 없다.

t가 선분의 영역에 포함되는지만 확인하면 된다.


다시 직선의 방정식을 보면


이 중 선분의 영역은


따라서 구한 t(최대 2개)중 하나라도 이면 선분(A,B)와 원(C,r)이 충돌한 것이다.

  1. VoidCat 2013.11.28 22:01

    공식을 t에 대해서 정리하는 과정에서
    A^2과 -2AC가 증발해버렸내요.
    따라서 c = (A-C)^2 -r^2 이 됩니다.

    • hanstar17 2013.11.29 13:51 신고

      수정하였습니다.

      꼼꼼히 읽어보시고 틀린 부분을 넘어가지 않고 지적해 주셔서 고맙습니다!ㅋ

Definition

\[ P\cdot Q = \sum_{i=1}^{n} P_i Q_i \]

Theorem 1.

\(\alpha\)가 두 벡터 \(P, Q\) 사이의 각을 나타낼 때, \[ P \cdot Q = \| P \| \| Q \| \cos \alpha \]

proof.

dot product의 의미를 알지 못하기 때문에 먼저 그림을 그려 정의가 가진 의미를 찾아보자.


그려보니 cos을 유도할 수 있는 방법이 생겼다.

\( |P-Q| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (Pi-Qi)^2} \)

루트를 제거하기 위해 양 변을 제곱하면,

\( |P-Q|^2 = \sum_{i=1}^{n} (Pi-Qi)^2 \)

   \( = \sum{Pi^2} + \sum{Qi^2} - 2\sum{Pi Qi} \)

dot product의 정의에 의해,

   \( = \sum{Pi^2} + \sum{Qi^2} - 2P \cdot Q \)

\( |P-Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 - 2P \cdot Q \) ..........................................(1.1)

피타고라스의 정리에 의해,

\( |P-Q|^2 = (|Q|-|P|\cos\alpha)^2 + (|P|\sin\alpha)^2 \)

   \( = |Q|^2 + |P|^2\cos^2\alpha - 2|P||Q|\cos\alpha + |P|^2\sin^2\alpha \)

   \( = |Q|^2 + |P|^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2|P||Q|\cos\alpha \)

   \( = |Q|^2 + |P|^2 - 2|P||Q|\cos\alpha \)

\( |P-Q|^2 = |Q|^2 + |P|^2 - 2|P||Q|\cos\alpha \)....................................(1.2)

(1.1)과 (1.2)에 의해,

\( |P|^2 + |Q|^2 - 2P \cdot Q = |Q|^2 + |P|^2 - 2|P||Q|\cos\alpha \)

\( -2P \cdot Q = - 2|P||Q|\cos\alpha \)

\( P \cdot Q = |P||Q|\cos\alpha \) ..................................................... ( proved )

Math Jax를 처음으로 사용하여 글을 써본다. 시간이 정말 오래 걸리는데, 확실히 깔끔하게 정리된다. 익숙해지면 빨라질까?

  1. 2013.06.29 15:08

    비밀댓글입니다

    • hanstar17 2013.06.29 19:46 신고

      도움이 된다니 기분이 좋네요. 글을 작성한 보람이 있는걸요?

      물론 괜찮으니 소장하세요.^^